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動態幾何1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分別從A、C同時出發，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發向B運動，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？【解析】解：設t秒后，四邊形APQB為平行四邊形，則AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∵AD∥BC所以AP∥BQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，當t＝2時，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．2．如圖，點是矩形中邊上一點，沿折疊為，點落在上．
（1）求證：；（2）若，求的值；（3）設，是否存在的值，使與相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵沿折疊為，∴，∴，又∵，∴．∴；（2）解：在中，，∴設，，，∵沿折疊為，∴，，，，又∵，
∴，∴，；（3）存在，時，與相似理由：當時，．∵，，∴，∴，∵，∴；②當時，，∵，∴，這與相矛盾，∴不成立．綜上所述，時，與相似．
3．如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線：()經過點和軸上的點，，．（1）求該拋物線的表達式；（2）聯結，求；（3）將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(點在點的左側)，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的表達式．【解析】解：（1）過作軸，垂足為，∵，∴∵∴，．∵，∴．在中，，∴．∴∵拋物線：經過點，
∴可得：，解得：∴這條拋物線的表達式為；（2）過作軸，垂足為，∵=∴頂點是，得設直線AM為y=kx+b，把，代入得，解得∴直線為
令y=0，解得x=∴直線與軸的交點為∴（3）∵、，∴在中，，∴．∴．由拋物線的軸對稱性得：，∴．∵，∴∴．∴當與相似時，有：或即或，∴或．∴或
設向上平移后的拋物線為：，當時，，∴拋物線為：當時，，∴拋物線為：．綜上：拋物線為：或．4．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接、，點、、分別為、、的中點，且連接、．觀察猜想（1）線段與“等垂線段”（填“是”或“不是”）猜想論證（2）繞點按逆時針方向旋轉到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．拓展延伸（3）把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出與的積的最大值．
【解析】（1）是；∵，∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE∥BC∴∠EDC=∠DCB∵點、、分別為、、的中點∴PM∥EC，PN∥BD，∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴線段與是“等垂線段”；（2）由旋轉知∵，∴≌（）∴，利用三角形的中位線得，，
∴由中位線定理可得，∴，∵∴∵∴∴∴與為“等垂線段”；（3）與的積的最大值為49；由（1）（2）知，∴最大時，與的積最大∴點在的延長線上，如圖所示：∴
∴∴.5．數軸上點A表示的有理數為20，點B表示的有理數為-10，點P從點A出發以每秒5個單位長度的速度在數軸上往左運動，到達點B后立即返回，返回過程中的速度是每秒2個單位長度，運動至點A停止，設運動時間為t（單位：秒）．（1）當t=5時，點P表示的有理數為．（2）在點P往左運動的過程中，點P表示的有理數為（用含t的代數式表示）．（3）當點P與原點距離5個單位長度時，t的值為．【解析】（1）由題意得：，點P從點A運動到點B所需時間為（秒），點P從點B返回，運動到點A所需時間為（秒），則當時，，因此，點P表示的有理數為，故答案為：；（2）在點P往左運動的過程中，，則點P表示的有理數為，故答案為：；（3）由題意，分以下兩種情況：①當點P從點A運動到點B，即時，由（2）可知，點P表示的有理數為，
則，即或，解得或，均符合題設；②當點P從點B返回，運動到點A，即時，，點P表示的有理數為，則，即或，解得或，均符合題設；綜上，當點P與原點距離5個單位長度時，的值為或5或或時，故答案為：或5或或．6．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）AC= cm；（2）若點P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時t的值；（3）在運動過程中，當t為何值時，△ACP為等腰三角形．【解析】（1）由題意根據勾股定理可得：（cm），
故答案為6；（2）如圖，點P恰好在∠ABC的角平分線上，過P作PD⊥AB于點D，則可設PC=xcm，此時BP=（8-x）cm，DP=PC=xcm，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm，∴在RT△BDP中，，即，解之可得：x=3，∴BP=8-3=5cm，∴P運動的路程為：AB+BP=10+5=15cm，∴t=s；（3）可以對△ACP的腰作出討論得到三種情況如下：①如圖，AP=AC=6cm，此時t=s；②如圖，PA=PC，此時過P作PD⊥AC于點D，則AD=3，PD=4，∴AP=5，
此時t=s；③如圖，PC=AC=6cm，則BP=8-6=2cm，則P運動的路程為AB+BP=10+2=12cm，此時t=s，綜上所述，在運動過程中，當t為2.5s或3s或6s時，△ACP為等腰三角形．7．已知，在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于點B，A(a，b)滿足＝0，平移線段AB使點A與原點重合，點B的對應點為點C．OA∥CB．（1）填空：a＝_______，b＝_______，點C的坐標為_______；（2）如圖1，點P(x，y)在線段BC上，求x，y滿足的關系式；（3）如圖2，點E是OB一動點，以OB為邊作∠BOG＝∠AOB交BC于點G，連CE交OG于點F，當點E在OB上運動時，的值是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．【解析】解：（1）∵，
∴∴由平移得：且C在y軸負半軸上，故答案為：；（2）如圖，過點分別作⊥x軸于點M，⊥y軸于點N，連接．∵AB⊥x軸于點B，且點A，，C三點的坐標分別為：∴OB=，OC=，∴，而∴滿足的關系式為：
（3）的值不變，值為2．理由如下：∵線段OC是由線段AB平移得到，∴，∴∠AOB=∠OBC，又∵∠BOG=∠AOB，∴∠BOG=∠OBC，根據三角形外角性質，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC=2（∠FCG+∠OBC）=2∠OEC，∴；所以：的值不變，值為2．
8．綜合實踐初步探究：如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．(1)當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數量關系為；解決問題：(2)當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；(3)當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA的反向延長線相交時，上述結論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間的數量關系為；拓展應用：(4)當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時，請猜想四邊形CDOE的周長與OC的數量關系，并說明理由；
【解析】：（1）∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC?cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中結論仍然成立，理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；（3）（1）中結論不成立，結論為：OE-OD=OC，理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，∴OE-OD=OC．（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC，
故四邊形CDOE的周長為(+1)OC．9．是等邊三角形，點在上，點，分別在射線，上，且．（1）如圖1，當點是的中點時，則________；（2）如圖2，點在上運動（不與點，重合）．①判斷的大小是否發生改變，并說明理由；②點關于射線的對稱點為點，連接，，．依題意補全圖形，判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．【解析】（1）∵點D是等邊△ABC的邊BC的中點，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°，∵DA＝DE，∴∠AED＝∠BAD＝30°，∴∠ADE＝180°?∠BAD?∠AED＝120°，同理：∠ADF＝120°，∴∠EDF＝360°?∠ADE?∠ADF＝120°，
故答案為：120；（2）①不發生改變，理由如下：∵是等邊三角形，∴．∵．∴點，，在以為圓，長為半徑的圓上，∴．②補全圖形如下：四邊形為平行四邊形，證明如下：由①知，，∵，，∴．在和中，，∴．∴．
∵點和點關于射線對稱，∴，．∴，且．∴四邊形為平行四邊形．10．如圖，數軸上，點A表示的數為，點B表示的數為，點C表示的數為9，點D表示的數為13，在點B和點C處各折一下，得到條“折線數軸”，我們稱點A和點D在數上相距20個長度單位，動點P從點A出發，沿著“折線數軸”的正方向運動，同時，動點Q從點D出發，沿著“折線數軸”的負方向運動，它們在“水平路線”射線和射線上的運動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變為“水平路線”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變為“水平路線”速度的2倍．設運動的時間為t秒，問：（1）動點P從點A運動至D點需要時間為________秒；（2）P、Q兩點到原點O的距離相同時，求出動點P在數軸上所對應的數；（3）當Q點到達終點A后，立即調頭加速去追P，“水平路線”和“上坡路段”的速度均提高了1個單位/秒，當點Q追上點P時，直接寫出它們在數軸上對應的數．【解析】（1）點A表示的數為，點B表示的數為，點C表示的數為9，點D表示的數為13，，動點P從點A運動到點D所需時間為（秒），故答案為：15；（2）由題意，分以下六種情況：
①當點P在AB，點Q在CD時，點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，此方程無解；②當點P在AB，點Q在CO時，點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，解得，此時點P表示的數為3，不在AB上，不符題設，舍去；③當點P在BO，點Q在CO時，點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，解得，此時點P表示的數為，不在BO上，不符題設，舍去；④當點P、Q相遇時，點P、Q均在BC上，
點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，解得，此時點P表示的數為，點Q表示的數為，均符合題設；⑤當點P在OC，點Q在OB時，點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，解得，此時點P表示的數為，點Q表示的數為，均符合題設；⑥當點P在OC，點Q在BA時，點P表示的數為，點Q表示的數為，點P、Q到原點的距離相同，，解得，此時點Q表示的數為0，不在BA上，不符題設，舍去；
綜上，點P表示的數為或；（3）點Q到達點A所需時間為（秒），此時點P到達的點是，點P到達點C所需時間為（秒），此時點Q到達的點是，點Q在CD上追上點P，此時點P表示的數為，點Q表示的數為，，解得，此時點P表示的數為18，點Q表示的數為18．11．如圖，在矩形中，，，點為對角線的中點，點從點出發，沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當點與點不重合時，過點作于點，以為邊向右作正方形，設正方形與重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動的時間為（秒）．（1）求點落在上時的值．（2）直接寫出點在正方形內部時的取值范圍．（3）當點在折線上運動時，求與之間的函數關系式．（4）直接寫出直線平分面積時的值．【解析】（1）如圖1所示，
由題意可知，當點落在上時，因為四邊形是正方形，所以，又因為在矩形中，，，所以，在和中，因為，，所以，則，所以，解得，所以當點落在上時的值為．故答案為：．（2）①如圖2，點剛落在正方形上．因為點是矩形對角線的中點，
所以在矩形的一條對稱軸上，所以，所以，解得．②如圖3，點和點重合，此時點運動的距離為，因為，，所以，所以，所以此時．綜上所述，當點在正方形內部時，的取值位于上述兩個臨界位置之間，即的取值范圍為．故答案為：．（3）①由（1）可知，當時，正方形和的重疊部分即為正方形，所以此時．
②當時，點在上，設與交于點，與交于點，此時正方形和的重疊部分為五邊形，此時．同（1），可知，，因為，，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，所以，整理得．
③當時，點在上，設與交于點，則．因為，，所以，所以，同（1），，所以，所以，所以，，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，整理得．綜上所述，當時，；當時，；當時，．
故答案為：（4）設直線與交于點，因為直線平分的面積，∴．①如圖7，點在上，過點作于點，則，所以，因為，，，所以，解得．②如圖8，點在上，連接．
因為、分別是、的中點，所以是的一條中位線，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，因為，，（由（3）②知），，所以，解得．③如圖9，在上，設與交于點，連接，交于．
同②，，且，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為（同②），所以，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，解得．綜上所述，當直線平分的面積時，的值為或或．故答案為：或或．12．在中，，，，點是射線上的動點，連接，將沿著翻折得到，設，
（1）如圖1，當點在上時，求的值．（2）如圖2，連接，，當時，求的面積．（3）在點的運動過程中，當是等腰三角形時，求的值．【解析】(1)在中，，，，∴由勾股定理得：BC=10，由折疊性質得：P=AP=x，C=AC=6，則PB=8-x，B=4，在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得：；（2）當時，由折疊性質得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90o，∴=，∵=90o，=90o，∴，∵=90o，=90o，∴，∴，
∴=4，則，且=，由，∠CAB=90o，可求得，，，，；（3）①當時，若在線段上，如圖1，過作H⊥AB于H，過C作CD⊥H延長線于D，則四邊形ACDH是矩形，又是等腰三角形，∴，，，，∵=90o，=90o,∴，又=90o,∴，∴，得，解得，
若在延長線上時，如圖2，過作AB的平行線，交AC延長線與D，過P作PH垂直平行線于H，則四邊形APHD是矩形，同上方法，易求得D=4，，∴PH=AD=，同理可證得，∴，得，解得，②當時，如圖3，由折疊性質得：CP垂直平分A，則，∠AQP=90o，又AC=6,，∵∠AQP=∠CAB=90o，∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，∴，
∴，即，解得：；③當時，如圖4，則、重合，，綜上所述或或或.
