高中數學高考沖刺經典題解析

高中數學高考沖刺經典題解析1.已知函數是定義在上的奇函數，若對于任意給定的不等實數，不等式恒成立，則不等式的解集為cA.B.C.D.2.若，則的大小關系是aA.B.C.D.3.已知點是重心,,若,則的最小值是cA.B.C.D.4.方程有且僅有兩個不同的實數解，則以下有關兩根關系的結論正確的是bAB．C．D．5.已知函數時，只有一個實根；當k∈（0，4）時，只有3個相異實根，現給出下列4個命題：①和有一個相同的實根；②有一個相同的實根；③的任一實根大于的任一實根； ④的任一實根小于任一實根.其中正確命題的序號是①②④6．B7． 8解:(Ⅰ)取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點,所以GM//FA,又EC面ABCD,FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分∵面CEGM面ABCD=CM,EG//面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB,EGAF, ∴EG面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系,設AB=2,則B（）E(0,1,1)F（0，-1，2）=(0，-2,1),=(,-1，-1),=(,1，1),………………8分設平面BEF的法向量=（）則令，則,∴=（）…………………10分同理，可求平面DEF的法向量=（-）設所求二面角的平面角為，則=.…………………12分9 解：(Ⅰ)莖葉圖……………………2分或………………2分 從統計圖中可以看出，乙的成績較為集中，差異程度較小，應選派乙同學代表班級參加比賽更好；………………4分（Ⅱ）設事件A為：甲的成績低于12.8，事件B為：乙的成績低于12.8，則甲、乙兩人成績至少有一個低于秒的概率為：；……………8分(此部分，可根據解法給步驟分:2分)（Ⅲ）設甲同學的成績為，乙同學的成績為，則，……………10分得，如圖陰影部分面積即為，則.…………12分10．解：（Ⅰ）設，，由，得，…………2分 代入，得.……………4分（Ⅱ）①當斜率不存在時，設，由已知得，由，得所以，當且僅當，即時，等號成立.此時最大值為.……………………5分②當斜率存在時，設其方程為，由，消去整理得，由，得①設，則②………7分③原點到直線距離為，④…………………9分由面積公式及③④得 ………………11分綜合①②，的最大值為，由已知得，所以.…………………12分11．解：(Ⅰ)的定義域為，若則在上單調遞增，……………2分若則由得，當時，當時，，在上單調遞增，在單調遞減.所以當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在單調遞減.……………4分(Ⅱ),令,,令, ,………………6分,,.……………8分(2),以下論證.……………10分,,,綜上所述，的取值范圍是………………12分12．△如圖，曲線是以原點為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以為頂點、為焦點的拋物線的一部分，是曲線和的交點且為鈍角，若，.（1）求曲線和的方程；（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于四點，若為中點、為中點，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由. 【解析】（1）解法一：設橢圓方程為，則，得.設，則，，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或（舍去）所以橢圓方程為，拋物線方程為.解法二：過作垂直于軸的直線，即拋物線的準線，作垂直于該準線，作軸于，則由拋物線的定義得，所以，得，所以c＝1，(，得）,因而橢圓方程為，拋物線方程為. （2）設把直線13．等比數列中，函數，則=。14.。當對數函數的圖象至少經過區域內的一個點時，實數a的取值范圍為。15．已知P是圓上任意一點，點F2的坐標為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點，且（1）求點M的軌跡C的方程； （2）斜率為k的直線與曲線C交于P、Q兩點，若（O為坐標原點）。試求直線在y軸上截距的取值范圍； 16．設F1，F2是雙曲線 的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使，且，則的值為（B）A．B．C．2D．3方法一：設點的坐標，列等式解決；方法二：用平行四邊形或三角形解決。17．已知P是橢圓上任一點，分別是橢圓的兩個焦點，若的周長為6，且橢圓的離心率為。求橢圓的標準方程；過橢圓的右焦點F作直線與橢圓交于A，B兩點，其中點A在x軸下方，且，試求以AB為直徑的圓的方程。若M（x，y）是（2）中所求圓上任一點，求的取值范圍。第二問要用多種方法來考慮：1列方程組得關于y的一元二次不等式，根與系數的關系；2。設元，列等式消元。18．已知公差不為0的等差數列中，成等比數列。已知數列的公差的取值范圍是，求的前9項和的取值范圍。若，且數列的前n項和為，若＞0時，＜恒成立，試求的公差的取值范圍。此題的關鍵是恒成立如何成立？ 19．已知函數，則函數的不同零點共有個。20．如下圖是函數的圖象的一部分，則=A-3B2CD111ayx21．已知O為坐標原點，點A、B分別是橢圓C：的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：相離（），P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N。（1）當c為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求的值。（2）若存在點P使得為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍。 ABPMNOyx22．已知函數。函數在上是減函數，函數在上是增函數。（1）求函數f(x)，g(x)的表達式。（2）若不等式f(x)≥mg(x)對恒成立，求實數m的取值范圍。23．在四邊形ABCD中，AB=2，，則四邊形ABCD的面積為。24．已知x，y滿足條件，點M(2，1)，點P(x，y)，那么的最大值為。25．若0＜，且為偶函數，則a+2b的最 小值為。26．過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T）交雙曲線左支于點M，交雙曲線右支于點P。若M為線段FP的中點，則()A1B2C3D427．設偶函數f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上單調，則f(b－2)與f(a＋1)的大小關系為A．f(b－2)＝f(a＋1)B．f(b－2)>f(a＋1)C．f(b－2)-242．（本小題滿分12分）已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點（0，），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為。（1）求橢圓C的方程（2）過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，（O坐標原點），求直線m的方程解：（1）直線與x軸交點即為橢圓的右焦點∴c=2由已知⊿周長為，則4a=，即，所以故橢圓方程為………………………………4分（2）橢圓的左焦點為，則直線m的方程可設為代入橢圓方程得：設………6分∵所以，，即……………9分 又原點O到m的距離，則解得…………………………12分43．(本小題滿分12分）為了普及環保知識，增強環保意識，某大學從理工類專業的A班和文史類專業的B班各抽取20名同學參加環保知識測試.兩個班同學的成績（百分制）的莖葉圖如圖所示：按照大于或等于80分為優秀，80分以下為非優秀統計成績.(1)完成下面2X2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為環保知識測試成績與專業有關 (2)從B班參加測試的20人中選取2人參加某項活動，2人中成績優秀的人數記為X，求X的分布列與數學期望.附：44．已知函數是定義域為的偶函數，f(x)且在上單調遞增,則不等式的解集為（D）A．B．C．D．45．由曲線圍成的圖形的面積等于（A）A．B．C．D． ABCDPE46．不等式對恒成立，則x的取值范圍是________________．x≤-1或x≥47．已知正方形ABCD邊長為1，圖形如示，點E為邊BC的中點，正方形內部一動點P滿足:P到線段AD的距離等于P到點E的距離，那么P點的軌跡與正方形的上、下底邊及BC邊所圍成平面圖形的面積為_________．48．（本小題滿分12分）已知函數f（x）是定義在[-e,0）∪（0,e]上的奇函數，當x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然對數的底數，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）設g（x）=,x∈[-e,0）,求證：當a=-1時，f（x）>g（x）+;（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e,0）時f（x）的最小值是3如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由． 49．已知雙曲線的左右焦點是，設是雙曲線右支上一點，在上的投影的大小恰好為，且它們的夾角為，則雙曲線的離心率是. 50．設集合，函數且，則的取值范圍是.51.（本小題滿分12分）：已知圓的圓心在坐標原點,且恰好與直線相切.(Ⅰ)求圓的標準方程；（Ⅱ）設點為圓上一動點,軸于,若動點滿足,(其中為非零常數),試求動點的軌跡方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當時,得到曲線，與垂直的直線與曲線交于、兩點,求面積的最大值.解:(Ⅰ)設圓的半徑為,圓心到直線距離為，則2分圓的方程為3分（Ⅱ）設動點,,軸于,由題意,，所以5分即:，將2009051520090515代入,得7分（Ⅲ）時,曲線方程為，設直線的方程為8分設直線與橢圓交點 聯立方程得9分因為，解得，且……10分點到直線的距離.（當且僅當即時取到最大值）面積的最大值為.12分52.（本小題滿分12分）：設函數(Ⅰ)當時，求函數的極值；（Ⅱ）當時，討論函數的單調性.（Ⅲ）若對任意及任意，恒有成立，求實數的取值范圍.解：(Ⅰ)函數的定義域為.當時，2分當時，當時，無極大值.4分（Ⅱ）5分當，即時， 在定義域上是減函數；當，即時，令得或令得當，即時，令得或令得綜上，當時，在上是減函數；當時，在和單調遞減，在上單調遞增；當時，在和單調遞減，在上單調遞增；8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在上單減，是最大值，是最小值.，10分而經整理得，由得，所以12分53．在所在的平面內有一點P，如果,那么的面積與的面積之比是AA．B．C．D．54．在區間[－1，1]上任取兩數s和t，則關于x的方程的兩根都是正數的概率為B A．B．C．D．55．已知函數是上的奇函數，且當時，函數若>，則實數的取值范圍是DA．B．C．D．56．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，點為動點，已知點，，直線與的斜率之積為.（I）求動點軌跡的方程;（II）過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點.解一：（1）由題知：…………2分化簡得：……………………………4分（2）設，:，代入整理得…………6分，，………………………………8分的方程為令，得………10分 直線過定點.………………12分解二：設，:，代入整理得…………6分,，…………8分的方程為令，得……10分直線過定點.…………12分解三：由對稱性可知，若過定點，則定點一定在軸上，設，:，代入整理得…………6分,，…………8分設過定點，則，而則…………10分直線過定點.…………12分 57.設點是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，為的內心，若，則該橢圓的離心率是（A）(A)(B)(C)(D)58.　已知函數，把函數g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的前n項的和,則＝(C)：A．B．C．45D．5559．設函數，則的值為________.60.?。ū拘☆}滿分12分）設，．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數；（3）如果對任意的，都有成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，，，，所以曲線在處的切線方程為；4分 （2）存在，使得成立等價于：，考察，，遞減極（最）小值遞增由上表可知：，，所以滿足條件的最大整數；8分3）當時，恒成立，等價于恒成立，記，，。記，，由于，,所以在上遞減，又h/（1）=0，當時，，時，，即函數在區間上遞增，在區間上遞減，所以，所以。12分（3）另解：對任意的，都有成立等價于：在區間上，函數的最小值不小于 的最大值，由（2）知，在區間上，的最大值為。，下證當時，在區間上，函數恒成立。當且時，，記，，當，；當，，所以函數在區間上遞減，在區間上遞增，，即，所以當且時，成立，即對任意，都有。12分61．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，為拋物線上的一點，則滿足=62.(本小題共12分)已知函數的部分圖象如圖所示．（I）求函數的解析式；（II）在△中，角的對邊分別是若的取值范圍．（1）由圖像知，的最小正周期，故…（2分）將點代入的解析式得，又 故所以………………4分ks5u（2）由得所以……………………6分因為所以………………8分……………………10分……………………12分63．（本小題滿分12分）已知函數，其中.（Ⅰ）若是的極值點，求的值；（Ⅱ）求的單調區間；ks5u（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍.（Ⅰ）解：.依題意，令，解得.經檢驗，時，符合題意.……4分（Ⅱ）解：①當時，.ks5u故的單調增區間是；單調減區間是.②當時，令，得，或.當時，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調增區間是；單調減區間是和 .當時，的單調減區間是.當時，，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調增區間是；單調減區間是和.③當時，的單調增區間是；單調減區間是.綜上，當時，的增區間是，減區間是；當時，的增區間是，減區間是和；當時，的減區間是；當時，的增區間是；減區間是和.ks5u……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調遞增，由，知不合題意.當時，在的最大值是，由，知不合題意.當時，在單調遞減， 可得在上的最大值是，符合題意.所以，在上的最大值是時，的取值范圍是.…………12分64．若滿足，滿足，函數，則關于的方程的解的個數是C：A．B．C．D.65．如圖，在直角梯形中，，∥，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內移動，設（，），則取值范圍是AA．B．C．D．66．若橢圓的焦點在軸上，過點（1，）作圓的切線，切點分別為A,B，直線恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是67．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函數式的取值范圍． 解：（I）∵，∴，…………（2分）根據正弦定理，得，又，…………（4分），，，又；sinA=…………（6分）（II）原式，…………（8分），…………（10分）∵，∴，∴，∴，∴的值域是．…………（12分）68．定義域為R的函數f(x)滿足f(1)＝l,且f(x)的導函數>，則滿足2f(x)0時，設的圖象C1與的圖象C2相交于兩個不同的點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線交C1于點，求證.解:（Ⅰ）當時，若，則，原命題等價于在R上有解．……………2分法一：當時，顯然成立； 當時，∴　，即．綜合所述?。?分法二：等價于在R上有解，即∴?。?分（Ⅱ）設，不妨設，則，，，兩式相減得：，……………7分整理得則，于是，…………………9分而令，則設，則，∴　在上單調遞增，則，于是有，即，且， ∴　，即．…………………12分76．設函數在處有極值，（1）求函數的單調區間。（2）設，若恒成立，求實數k的范圍。77．是偶函數，且在[0，+）上是增函數，不等式對x∈[，1]恒成立，則實數a的取值范圍是AA．[-2,0]B．[-5,0]C．[-5,1]D．[-2,1]78．設x，y滿足約束條件,若目標函數（其中b>a〉0)的最大值為5，則8a+b的最小值為CA.3B.4C.5D.679．ΔABC的外接圓圓心為O，半徑為2，，且，向量在方向上的投影為AA.B.C.3D.—380．若，則二項式展開式中常數項是________.-16081．在中，角A，B,C；的對邊為a，b,c，點（a,b)在直線上.(I)求角C的值； (II)若，求ΔABC的面積.（I）由題得，由正弦定理得，即.………………3分由余弦定理得，結合,得.………………6分（II）由得，從而.………………9分所以的面積，………………12分已知橢圓的左焦點為F,左右頂點分別為A、C,上頂點為B,O為原點，P為橢圓上任意一點.過F,B,C三點的圓的圓心坐標為(m,n)(I)當時，求楠圓的離心率的取值范圍；(II)在（I)的條件下，橢圓的離心率最小時，若點D(b+1，0),的最小值為.，求橢圓的方程.解：(Ⅰ)設半焦距為c.由題意的中垂線方程分別為，于是圓心坐標為.………………2分所以=，即,即 ,所以，于是即，所以,即.………………5分（II）當時，，此時橢圓的方程為，設，則，所以.…8分當時，上式的最小值為，即=，得；………………10分當時，上式的最小值為，即=，解得不合題意，舍去.綜上所述，橢圓的方程為.………………12分已知函數在x=0，處存在極值.(I)求實數a、b的值；(II)函數y=f(x)的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上，求實數c的取值范圍； (III）當c=e時，討論關于x的方程的實根個數.解（I）當時，.………………1分因為函數f(x)在處存在極值，所以解得.………………3分(II)由（I）得根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設.若，則，由是直角得，，即，即.此時無解；………………5分若，則.由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即.同理有，即=0，.因為函數在上的值域是，所以實數的取值范圍是.………………7分（III）由方程，知，可知0一定是方程的根，………………8分所以僅就時進行研究：方程等價于構造函數 對于部分，函數的圖像是開口向下的拋物線的一部分，當時取得最大值，其值域是；對于部分，函數，由，知函數在上單調遞增.所以，①當或時，方程有兩個實根；②當時，方程有三個實根；③當時，方程有四個實根.………………12分已知函數，且圖像在點處的切線斜率為為自然對數的底數).(I)求實數a的值；(II)設，求的單調區間；(III)當時，證明：.解：（Ⅰ），，依題意，所以.……2分（Ⅱ）因為，，所以，.設，則……4分當時，是增函數.對，，即當時，，故在上為增函數，……6分 當時，.是減增函數.對，，即當時,，故在上為增函數，所以，的單調增區間為，.……8分（Ⅲ）要證，即證，即，.……10分，因為，由⑵知，，所以.……12分已知集合，定義函數.若點的外接圓圓心為D,且，則滿足條件的函數有C：A.6個B.10個C.12個D.16個過雙曲線的左焦點，作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為CA．B．C．D．在中，是邊中點，角，，的對邊分別是，，，若，則的形狀為CA.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形但不是等邊三角形. 直線（）與函數，的圖象分別交于、兩點，當最小時，值是BA.B.C.D.在直角坐標系xOy中，長為的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上滑動，．記點P的軌跡為曲線E．（I）求曲線E的方程；（II）經過點（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點，當點M在曲線E上時，求的值．解：（Ⅰ）設C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，∴得…2分由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲線E的方程為x2＋＝1．…5分（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知點M 坐標為(x1＋x2，y1＋y2)．設直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則x1＋x2＝－，x1x2＝－．…7分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由點M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2．…9分這時x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，(x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，cosá，?＝＝－．…12分已知.（I）求函數f（x）的最小值；（II）（i）設（ii）若，且證明：解： （Ⅰ）f￠(x)＝x－＝．…1分當x∈(0，a)時，f￠(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈(a，＋∞)時，f￠(x)＞0，f(x)單調遞增．當x＝a時，f(x)取得極小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna．…4分（Ⅱ）（?。┰Og(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，則當0＜t＜a時，g￠(t)＝f￠(a＋t)＋f￠(a－t)＝a＋t－＋a－t－＝＜0，…6分所以g(t)在(0，a)單調遞減，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，故f(a＋t)＜f(a－t)．…8分（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)單調遞減，在(a，＋∞)單調遞增，不失一般性，設0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，則由（?。?，得f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)，…11分 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)，故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a．…12分