全國乙2022年高考數學壓軸卷（文）

（全國乙）2022年高考數學壓軸卷文一．選擇題：本題共12個小題，每個小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合M={x||x-1|<1}，N={x|x<2}，則M∩N=（）A.(-1，1)B.(-1，2)C.(0，2)D.(1，2)2.已知復數z＝1﹣i，則＝（　?。〢．2B．﹣2C．2iD．﹣2i3.命題“x≥1，都有lnx+x﹣1≥0”的否定是（　?。〢．x≥1，都有lnx+x﹣1＜0B．∃x0＜1使得lnx0+x0﹣1＜0C．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1≥0D．∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1＜04.將6個相同的小球放入3個不同的盒子中，每個盒子至多可以放3個小球，且允許有空盒子，則不同的放法共有（　?。┓NA．10B．16C．22D．285.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖．則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.6.執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）17,A.4B.5C.6D.77.設變量，滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A．3B．16C．6D．48.已知向量，滿足||＝2，||＝2，與﹣夾角的大小為，則•＝（　?。〢．0B．C．2D．﹣19.已知函數，則下列說法正確的是（）A．f(x)的最小正周期為B．f(x)的最大值為2C．f(x)在上單調遞增D．f(x)的圖象關于直線對稱10.函數的大致圖象為（　?。〢．17,B．C．D．11.已知等差數列{an}中，，，則等于（）A.15B.30C.31D.6412.已知雙曲線＝1的右焦點為F，點M在雙曲線上且在第一象限，若線段MF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線MF的斜率是（　?。〢．B．C．D．一．填空題:本題共4個小題，每個小題5分，共20分.13.已知奇函數y＝f（x）的周期為2，且當x∈（0，1）時，f（x）＝log2x．則f（7.5）的值為　　.14.等比數列{an}（n∈N*）中，若a2=，a5=，則a8＝　?。?5.在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，則cosB＝　?。?6.在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．17,三、解答題:本題共5個小題,第17-21題每題12分,解答題應寫出必要的文字說明或證明過程或演算步驟.17.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cosA＝，cos∠ADB=．（Ⅰ）求cos∠BDC；（Ⅱ）求BC的長．18.2020年寒假是特殊的寒假，因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為了研究學生在網上學習的情況，某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查，其中男生與女生的人數之比為11∶13，其中男生30人對于線上教育滿意，女生中有15名表示對線上教育不滿意.（1）完成2×2列聯表，并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”；滿意不滿意總計男生女生合計120（2）從被調查中對線上教育滿意的學生中，利用分層抽樣抽取8名學生，再在8名學生中抽取3名學生，作線上學習的經驗介紹，其中抽取男生的個數為，求出的分布列及期望值.參考公式：附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0720.7063.8415.0246.6357.8791082817,19.如圖，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為1的正方體．（Ⅰ）求證：平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）點P是棱AA1上一動點，過點P作平面α平行底面ABCD，AP為多長時，正方體ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的兩部分的體積比是1：3．20.已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0），其右焦點為F（1，0），圓C2：x2+y2＝a2+b2，過F垂直于x軸的直線被圓和橢圓截得的弦長比值為2．（1）求曲線C1，C2的方程：（2）直線l過右焦點F，與橢圓交于A，B兩點，與圓交于C，D兩點，O為坐標原點，若△ABO的面積為，求CD的長．21.設函數f（x）＝x2﹣a（lnx+1）（a＞0）．（1）證明：當a≤時，f（x）≥0；（2）若對任意的x∈（1，e），都有f（x）≤x，求a的取值范圍．選考題:共10分,請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22.[選修4—5：坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（為參數），曲線C的參數方程為（，，為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線C的極坐標方程為.（1）求，，的值；17,（2）已知點P的直角坐標為，與曲線C交于A、B兩點，求.23.[選修4—5：不等式選講]已知函數．（1）若，解不等式；（2）若對任意，求證：．17,參考答案1.【答案】C【解析】，故選：C2.【答案】A【解析】解：將z＝1﹣i代入得，故選：A．3.【答案】D【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為：∃x0≥1，使得lnx0+x0﹣1＜0，故選：D．4.【答案】A【解析】解：根據題意，分3種情況討論：①2個盒子各放3個小球，一個盒子是空的，有C32＝3種放法，②若每個盒子放2個小球，有1種放法，③若1個盒子放1個小球，1個盒子放2個小球，最后一個放3個小球，有A32＝6種放法，則有3+1+6＝10種放法，故選：A．5.【答案】B【解析】解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為倒立圓錐，且圓錐的底面圓半徑為1，高為2，所以體積，故選：B.6.【答案】D【解析】解：開始：1.判斷為“是”,,,；17,2.判斷為“是”,,,；3.判斷為“是”,,,；4.判斷為“是”,,,；5.判斷為“是”,,,；6.判斷為“是”,,,；7.判斷為“否”,輸出.故選：D7.【答案】D【解析】解：不等式組對應的可行域如圖所示：由可得，故，將初始直線平移至時，有最小值為，故選：D.17,8.【答案】A【解析】解：因為||＝2，||＝2，所以|﹣|＝＝，因為與﹣夾角的大小為，所以•（﹣）＝|||﹣|cos＝，又•（﹣）＝2﹣•＝4﹣•，所以＝4﹣•，兩邊平方整理可得（•）2﹣6•＝0，所以•＝6或•＝0，當•＝6時，|﹣|＝2，cos＜，﹣＞＝＝＝＝﹣，此時與﹣夾角的大小為，與已知矛盾，舍去；當•＝0，|﹣|＝4，cos＜，﹣＞＝＝＝＝，此時與﹣夾角的大小為，符合條件，綜上可得，•＝0．故選：A．9.【答案】D【解析】解：由題意，函數，由函數的最小正周期，可得，所以A錯誤；由函數的最大值為，所以B錯誤；因為，可得，所以函數在上單調遞減，所以C錯誤；17,由，令，解得，當時，可得，所以的圖象關于直線對稱，所以D正確.故選：D.10.【答案】A【解析】解：函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，故f（x）為偶函數，由此排除選項BC，當x＞1時，2xlnx2＞0，4x+1＞0，f（x）＞0，由此排除選項D．故選：A．11.【答案】A【解析】解：，，故選：A.12.【答案】A【解析】解：如圖所示，設線段MF的中點為H，連接OH，設雙曲線的右焦點為F，連接MF．雙曲線的左焦點為F′，連接MF′，則OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．17,設∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直線MF的斜率是﹣．故選：A．13.【答案】1【解析】解：∵奇函數y＝f（x）的周期為2，且當x∈（0，1）時，f（x）＝log2x．∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣log2＝1，故答案為：1．14.【答案】4【解析】解：因為等比數列{an}（n∈N*）中，，，所以q3＝＝8，即q＝2，所以a8＝＝＝4．故答案為：4．15.【答案】【解析】解：∵AB＝9，BC＝7，∴AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，交AB于D，則∠DCA＝∠A，∴∠BCD＝∠C﹣∠A，即cos∠BCD＝，設AD＝CD＝x，則BD＝9﹣x，在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BCcos∠BCD，17,∴（9﹣x）2＝x2+49﹣2•x•7•，解得x＝6，∴AD＝CD＝6，BD＝3，在△BCD中，由余弦定理知，cosB＝＝＝．故答案為：．16.【答案】【解析】解：設圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，故答案為：17.【答案】【解析】解：（Ⅰ）因為AB∥CD，cosA＝，cos，所以sinA＝＝，sin∠ADB＝＝，cos∠BDC＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB＝×﹣＝．（Ⅱ）由已知及正弦定理，可得＝，解得BD＝3，由于cos∠BDC＝，CD＝，在△BCD中，由余弦定理可得BC＝＝＝．17,18.【答案】（1）見解析，有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”.（2）見解析，【解析】解：（1）因為男生人數為：，所以女生人數為，于是可完成列聯表，如下：滿意不滿意總計男生302555女生501565合計8040120根據列聯表中的數據，得到的觀測值，所以有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”.（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依題可知的可能取值為，并且服從超幾何分布，，即,.可得分布列為17,0123可得.19.【答案】【解析】（Ⅰ）證明：AA1⊥平面ABCD，則AA1⊥BD，又∵底面ABCD是正方形，∴對角線AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，而BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）設平面α與A1B，A1D，B1B，D1D，C1C分別交于E，F，M，N，Q，設A1P＝x，則AP＝1﹣x，PE＝PF＝x，由題意，正方體ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的兩部分的體積比是1：3，∴VPEF﹣ABD：VPMQN﹣ABCD＝1：4，得，解得：或（舍）．∴AP＝1﹣x＝1﹣．20.【答案】【解析】解：（1）由已知可得過F且垂直x軸的直線方程為x＝1，17,聯立方程，解得y＝，聯立方程，解得y＝，所以，又因為a2＝b2+1…②，聯立①②解得a2＝2，b2＝1，所以曲線C1的方程為，曲線C2的方程為x2+y2＝3；（2）設直線l的方程為x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程，消去x整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，所以y，所以|AB|＝＝＝，又原點O到直線l的距離d＝，所以三角形ABO的面積S＝＝，整理可得：5m4﹣16m2﹣16＝0，解得m2＝4或﹣（舍去），所以m2＝4，所以原點O到直線l的距離d＝，則|CD|＝2．21.【答案】【解析】解：（1）證明：由題意得f（x）的定義域為（0，+∞），，令f′（x）＝0可得．17,所以當時，f′（x）＜0，當時，f′（x）＞0．故f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．所以f（x）的最小值，所以，故，所以當時，f（x）≥0．（2）∵對任意的x∈（1，e），都有f（x）﹣x≤0，∴f（x）﹣x≤0在（1，e）上恒成立，（分離參數）故在（1，e）上恒成立，∴a≥g（x）max．令，在（1，e）上恒大于0，∴g（x）在（1，e）上單調遞增，∴g（x）的最大值為，∴．22.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由，得，則，即.因為，，所以.（2）將代入，得.設，兩點對應的參數分別為，，則，.所以.23.【答案】（1）（2）證明見詳解.17,【解析】（1）解：∵，∴．∴或或，解得或或．∴不等式的解集為．（2）證明：∵，又∵，∴．∴成立．17